• Título:  ANÁLISIS DE ALGUNAS DEGENERACIONES Y DE BIFURCACIONES GLOBALES EN CAMPOS VECTORIALES SIMETRICOS
• Autor:  MERINO MORLESIN, MANUEL
• Universidad:  Universidad de Huelva
• Departamento:  MATEMATICAS
• Fecha de Lectura:  03/07/2009
• Programa de doctorado:  MATEMATICAS
• Dirección: 
  • Algaba Durán, Antonio (DIRECTOR)
• Tribunal: 
  • Freire Macías, Emilio (PRESIDENTE)
  • GARCÍA GARCIA, CRISTOBAL (SECRETARIO)
  • GAMERO GUTIERREZ, ESTANISLAO (VOCAL)
  • FERNÁNDEZ SANCHEZ, FERNANDO (VOCAL)
  • DOEDEL, EUSEBIUS (VOCAL)
• Descriptores: 
  • ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
• Localización:  BIBLIOTECA UNIVERSIDAD DE HUELVA
• Resumen:
  El estudio del comportamiento dinámico y de bifurcaciones de ciertas familias de osciladores electrónicos tridimensionales se encuentra en el origen y motivación de esta memoria. En el capítulo 1 se analizan las degeneraciones lineales correspondientes a los equilibrios del oscilador de Chua, proceso que nos ha posibilitado descubrir el papel que juegan los parámetros del sistema como parámetros de bifurcación. Estudiamos la bifurcación de Hopf del origen y de los equilibrios no triviales, analizando sus degeneraciones y las distintas configuraciones que pueden presentar dichas superficies en el espacio de parámetros. También se analiza la bifurcación Takens-Bogdanov del equilibrio en el origen y sus posibles degeneraciones. Presentamos diversos conjuntos de bifurcaciones donde se muestran las curvas donde tienen lugar las bifurcaciones detectadas. En el capítulo 2 se exponen algunos aspectos asociados con las bifurcaciones que presentan las ecuaciones de Chua en un entorno de una degeneración lineal Hopf-pitchfork. En concreto, estudiamos varios fenómenos relacionados con movimientos periódicos y cuasiperiódicos que son justificados analíticamente por el estudio que llevamos a cabo. En el capítulo 3 analizamos otro oscilador electrónico, también con la propiedad de la Z2-simetría. Se realiza un análisis detallado de las zonas de resonancia que existen en relación con una curva de bifurcación a toros que surge de un punto de codimensión dos Hopf-pitchfork. Describimos el proceso que permite la unión de las lenguas de Arnold; zonas de resonancia cerradas que surgen de la curva de bifurcación a toros (sobre la que está presente un punto de degeneración angular de tipo banana) y las zonas de resonancia abiertas (delimitadas por curvas de bifurcación silla-nodo) relacionadas con degeneraciones de las conexiones homoclinas de los equilibrios del sistema. En el capítulo 4 analizamos la conducta de bifurcaciones homoclinas (de doble y triple pulso) situadas en zona Shinikov, para sistemas con Z2 simetría. El estudio teórico, mediante la aplicación de Poincaré, nos permite obtener la distribución de las curvas de conexiones homoclinas de doble y triple pulso, en relación a la homoclina principal, en un entorno del punto donde los autovalores del equilibrio en el origen están en resonancia. Esto nos permite mediante continuación numérica, encontrar dicha configuración de conexiones homoclinas en las ecuaciones de Chua. En el capítulo 5 analizamos algunos aspectos asociados con el comportamiento, desde el punto de vista de las bifurcaciones, que exhibe las ecuaciones de Chua cerca de la bifurcación triple-cero. Realizamos el análisis de bifurcaciones de un despliegue triparamétrico, correspondiente a una degeneración lineal con un autovalor triple cero, para los sistemas que tienen la propiedad de la Z2-simetría y llevamos a cabo un estudio de las bifurcaciones locales de codimensión dos de los puntos de equilibrio, Takens-Bogdanov y Hopf-cero. Posteriormente aplicamos los resultados obtenidos al estudio de un conjunto de sistemas generales y al análisis de un sistema concreto, el oscilador de Chua, que actúa como paradigma de aquel conjunto. Finalmente realizamos un detallado estudio numérico de las ecuaciones de Chua cerca de las dos bifurcaciones de equilibrio, de codimensión tres, estudiadas analíticamente (bifurcación Takens-Bogdanov degenerada y degeneración triple-cero). Este estudio numérico nos permite dar una importante información acerca de otras bifurcaciones de codimensión dos y tres, de conexiones globales y de órbitas periódicas. De hecho, varias conexiones homoclinas de codimensión tres detectadas aquí, hasta lo que conocemos, no han sido estudiadas ni analítica ni numéricamente. El estudio numérico realizado en el capítulo 5 nos revela la existencia de una curva de conexiones heteroclinas de codimensión dos, que recibe el nombre de puntos-T, en un entorno de la degeneración lineal triple cero. Esta curva presenta una falta de transversalidad en el espacio de parámetros cuyas consecuencias analizamos en el capítulo 6. Como continuación de trabajos previos en este capítulo analizamos teóricamente las bifurcaciones sillas-nodo y cúspides de órbitas periódicas, y estudiamos su configuración en las ecuaciones de Chua. El último capítulo de esta memoria está motivado por el estudio de una degeneración que se presenta en un circuito electrónico, sin la propiedad de la Z2-simetría diseñado acoplando dos circuitos simples. En este capítulo 7 consideramos el estudio teórico de un caso degenerado de la bifurcación Hopf-silla-nodo que permite conectar los casos no degenerados IIIa, IIIIVa,b. Hay que hacer notar que algunos problemas que aparecen en el caso no degenerado IIa son resueltos en el caso degenerado. Además aparecen otras bifurcaciones: la bifurcación de Takens-Bogdanov, y varios tipos de conexiones globales cuya existencia es demostrada teóricamente. Por último encontramos numéricamente el conjunto de bifurcaciones que predice la teoría en un circuito electrónico autónomo tridimensional.