• Título:  WEIGHTED ESTIMATES FOR MULTILINEAR MAXIMAL FUNCTIONS AND SINGULAR INTEGRAL OPERATORS
• Autor:  Damián González, Wendolín
• Universidad:  Universidad de Sevilla
• Departamento:  (IMUS) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE INVESTIGACION DE MATEMATICAS DE LA U.S.
• Fecha de Lectura:  10/12/2014
• Programa de doctorado:  Matemáticas
• Dirección: 
  • PÉREZ MORENO, CARLOS (DIRECTOR)
• Tribunal: 
  • RODRÍGUEZ PIAZZA, LUIS (PRESIDENTE)
  • ORTEGA SALVADOR, PEDRO (SECRETARIO)
  • PELOSO, MARCO M. (VOCAL)
  • SORIA DE DIEGO, FRANCISCO JAVIER (VOCAL)
  • PETERMICHL, STEFANIE (VOCAL)
• Descriptores: 
  • ANALISIS ARMONICO
• Localización:  SERVICIO DE DOCTORADO, UNIVERSIDAD DE SEVILLA
• 2014damiaweigh.pdf
• Resumen:
  Uno de los ejes centrales del análisis armónico moderno consiste en el estudio de las Integrales Singulares y, en especial, de los llamados operadores integrales Singulares de Calderón-Zygmund. Además de por su belleza e interés intrínseco, la razón principal por la que juegan un papel relevante se debe a que son un primer paso para el estudio de otros operadores con igual o mayor grado de singularidad. El origen de la teoría de pesos se encuentra en los años 70, con los trabajos de R. Hunt, B. Muckenhoupt, R. Wheeden, R. Coifman y C. Fefferman. El problema básico en la teoría de pesos consiste en la determinación de las condiones bajo las cuales un operador dado, inicialmente acotado del espacio de Lebesgue $L^p(\mathbb{R}^n)$, está acotado en $L^p(\mu)$, donde $\mu$ es una medida absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue. Esto es, $\mu= w(x) dx$, donde $w$ se conoce con el nombre de peso. Aunque esta pregunta es natural, su respuesta ha causado un gran impacto en el análisis moderno abriendo un gran área de investigación que ha mostrado conexiones profundas en muchos ámbitos como las ecuaciones en derivadas parciales y la variable compleja. En 1971, B. Muckenhoupt caracterizó las clases de pesos $A_p$ mostrando la íntima relación entre estas clases de pesos y el operador maximal de Hardy-Littlewood. No fue hasta 1982 que E. Sawyer caracterizó la desigualdad de dos pesos para la maximal de Hardy-Littlewood usando una condición de tipo "testing". Hay que notar que los resultados clásicos obtenidos hasta ese momento no tenían en cuenta la dependencia cuantitativa de la norma del operador en cuestión en función de la constante de los pesos involucrados. En 1993, S. Buckley provó una cota óptima para la función maximal de Hardy-Littlewood en función de la cosntante $A_p$ del peso. Recientemente se han probado sucesivas mejoras del resultado de Buckley que han motivado muchos de los resultados contenidos en esta monografía. Asimismo la prueba del teorema $A_2$ para operadores lineales de Calderón--Zygmund, probado originalmente por T. Hytönen y cuya prueba fue simplificada de una forma muy elegante por A. Lerner, llevaron a pensar que los mismos resultados podrían ser ciertos para operadores multilineales de Calderón--Zygmund. El principal objetivo de esta tesis es el estudio de desigualdades con pesos para diferentes operadores del análisis armónico en dos ambientes diferentes: los espacios de tipo homogéneo y en el contexto euclídeo multilineal. A continuación detallamos la organización de la monografía así como las aportaciones originales al área del análisis armónico desarrolladas en la misma. Tras un capítulo inicial de nociones básicas y resultados preliminares, el segundo capítulo de esta tesis se centra en el estudio de acotaciones fuertes y débiles con pesos de operadores de Calderón-Zygmund que generalizan a espacios de tipo homogéneo la situación del espacio euclídeo $R^n$. Nuestro objetivo es la obtención de cotas formadas por al menos dos constantes $A_p$ diferentes de manera que estas cotas mixtas sean estrictamente más pequeñas que las cotas clásicas formadas por una constante. Asimismo, se generalizan desigualdades como la de John-Nirenberg y la desigualdad de Hölder al revés, las cuales serán herramientas fundamentales de cara a determinar acotaciones óptimas para los operadores de Calderón-Zygmund y los conmutadores de estos operadores con funciones de BMO. Merece la pena destacar el uso de las novedosas técnicas de A. Lerner para probar de una forma sencilla una desigualdad de tipo Coifman-Fefferman que juega un papel fundamental a la hora de obtener las constantes óptimas en ciertas desigualdades a lo largo de este capítulo. En el tercer y cuarto capítulo de esta monografía se estudian las desigualdades con pesos para la función maximal multilineal y operadores integrales singulares multilineales, respectivamente. También se determinan las constantes óptimas para la acotación de dichos operadores generalizando los resultados lineales mencionados anteriormente. Con respecto al problema de determinación de las constantes óptimas para la función maximal multilineal, se prueba una cota mixta que mezcla la constante múltiple $A_{\vec{P}}$ con un producto de constantes $A_{\infty}$. También se extienden total o parcialmente otros resultados en el contexto múltiple de uno y dos pesos como los teoremas de S. Buckley y E. Sawyer, respectivamente. Para probar este último resultado, se prueba una versión multilineal de un lema de inmersión de tipo Carleson que es una pieza clave a lo largo del tercer capítulo en la prueba de diversos resultados. Asimismo, se establece el control en norma de los operadores multilineales de Calderón-Zygmund e integrales singulares mutilineales con núcleos no suaves por operadores multilineales de tipo sparse. Como consecuencia de este resultado se deriva un análogo del teorema $A_2$ para ambos tipos de operadores, así como se deduce el correspondiente teorema $A_p$ para integrales singulares multilineales con núcleos no suaves extendiendo el resultado a esta clase más amplia de operadores. Finalmente, en el quinto capítulo se estudia la compacidad de los conmutadores de diferentes operadores con símbolos en CMO, un subespacio denso de BMO. Por un lado, el estudio se centra en los conmutadores de una clase de operadores bilineales que extiende el caso de los operadores de Calderón-Zygmund. También se estudia el caso de los conmutadores de una familia de operadores bilineales fraccionarios más singulares que pueden verse como la versión fraccionaria de la transformada de Hilbert bilineal. Por otro lado, se estudian las clases de pesos múltiples para los cuales se tiene que los conmutadores de operadores de Calderón-Zygmund bilineales son compactos en espacios de Lebesgue con pesos.